UbuntuのLinuxカーネルアップグレード

Ubuntuのカーネルはaptで更新できます。
パッケージはlinux-imageで詳細バージョンとflavor（標準はgeneric）を指定する必要があります。
また多くの場合、追加ドライバのlinux-modules-extraも必要でしょう。nvidiaなどのプロプライエタリなドライバをインストールするにはlinux-headersも必要です。バージョンはlinux-imageに合わせます。

# 最新バージョンの検索
$ apt-cache search linux-image-5
$ apt-cache search linux-modules-extra
# インストール
$ sudo apt-get install linux-image-5.13.0-28-generic
$ sudo apt-get install linux-modules-extra-5.13.0-28-generic

aptの最終プロセスでgrubも更新されます。
インストール終了後に再起動すると新カーネルがデフォルト選択となります。

$ uname -r
5.13.0-28-generic

ドライバ不足などで旧バージョンを選択したい場合、Grubメニューの Advanced Options for Ubuntu で利用できるカーネルがリストされます。

Grubのカーネルオプション変更

/etc/default/grubのGRUB_CMDLINE_LINUX_DEFAULTを編集のうえ、sudo update-grubで設定変更できます。
オプションの詳細などは、 ubuntu Japanese Team Wikiに解説があります。